Usos y aplicaciones de máximos y mínimos

Hay bastantes tipos de ejemplos de aplicación de máximos y mínimos en la vida real. Un clásico es el de construir con determinada cantidad de material, un recipiente de volumen máximo.

Por ejemplo, si deseas cercar un terreno, pero solo posees una determinada longitud de valla, puedes utilizar los máximos y mínimos para que, con esa longitud de valla, puedas cubrir la mayor cantidad de área.

Los máximos y mínimos tienen un gran significado en el mundo de los negocios. Todas las empresas utilizan las funciones de máximos para sus beneficios, ventas y ganancias y las de mínimos para acortar costos y pérdidas.



Fuentes:

http://www.ehowenespanol.com/resumen-aplicaciones-maximos-minimos-negocios-info_273705/

Resolución de máximos y mínimos

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

f'(x) = 3x^2 − 3 = 0

x = −1 x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:

f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f'' (1) = 6 Mínimo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

f(−1) = (−1)^3 − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)



Fuentes:
http://www.dervor.com/derivadas/maximos_mimimos.html

Criterios de la primera y segunda derivada

Criterio de la primer derivada:

La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:

1.  Cuando la derivada es positiva la función crece.
2. Cuando la derivada es negativa la función decrece.
3. Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.

Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b  con a<c<b tales que:

1.-  f es continua en el intervalo abierto (a,b) (de acuerdo con el teorema de Rolle)

2.- f es derivable en el intervalo abierto (a,b), excepto quizá en c;

3.- f´(x) es positiva para todo x<c en el intervalo y negativa para todo x>c en el intervalo.

Entonces f tiene un máximo local en c.

Criterio de la segunda derivada: 

Sea f una función con su primera derivada definida, al menos, en un intervalo abierto conteniendo al número a. Si f´´ esta definida entonces podemos considerar los siguiente aspectos:

 

a).-  Si f´(a)=0   y     f´´(a)<0 entonces se dice que f tiene un máximo local en a.

b).- Si f´(a)=0    y    f´(a)>0 entonces se dice que f tiene un mínimo local en a.

Fuentes:

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/criterio_de_la_primera_derivada.htm

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/criterio_de_la_segunda_derivada.htm

Sentido de concavidad

• Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por debajo de la gráfica.

• Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando:

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por encima de la gráfica.

Fuentes: 
http://www.vitutor.com/fun/5/c_10.html

Valores críticos

Determinar los puntos críticos consiste en hallar los valores extremos de la función, estos valores extremos son los puntos más altos y más bajos de la gráfica de una función y una de las herramientas para su determinación es aplicando la derivada.

Fuentes:
https://sites.google.com/site/sarahyjoffrecalculo/home/unidad-iii/3-1-puntos-criticos-y-valores-extremos/3-1-2-maximos-y-minimos

http://calculo-maximosyminimos.blogspot.mx/

Punto de inflexión

El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se llama punto de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revés.

Los puntos de inflexión están caracterizados por:

TEOREMA 

Sea y=f(x) la ecuación de una función.

Si f ''(a)=0, o f '' (a) no existe, y la derivada f '' (x) cambia de signo al pasar por el valor de x=a, entonces, el punto de la función de abscisa x=a es un punto de inflexión.

Ejemplo: 

El punto x=1 es un punto de inflexión, puesto que antes de x=1 la derivada segunda es negativa (convexa) y después de x=1 es positiva (cóncava).

Fuentes:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/punto7/punto7.html

Máximos y mínimos

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en  x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

a=0

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

b=0

Máximos y mínimos relativos

Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.

Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

a=3.08           b=-3.08

Fuentes:

http://www.vitutor.com/fun/2/a_9.html