Criterios de la primera y segunda derivada

Criterio de la primer derivada:

La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:

1.  Cuando la derivada es positiva la función crece.
2. Cuando la derivada es negativa la función decrece.
3. Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.

Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b  con a<c<b tales que:

1.-  f es continua en el intervalo abierto (a,b) (de acuerdo con el teorema de Rolle)

2.- f es derivable en el intervalo abierto (a,b), excepto quizá en c;

3.- f´(x) es positiva para todo x<c en el intervalo y negativa para todo x>c en el intervalo.

Entonces f tiene un máximo local en c.

Criterio de la segunda derivada: 

Sea f una función con su primera derivada definida, al menos, en un intervalo abierto conteniendo al número a. Si f´´ esta definida entonces podemos considerar los siguiente aspectos:

 

a).-  Si f´(a)=0   y     f´´(a)<0 entonces se dice que f tiene un máximo local en a.

b).- Si f´(a)=0    y    f´(a)>0 entonces se dice que f tiene un mínimo local en a.

Fuentes:

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/criterio_de_la_primera_derivada.htm

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/criterio_de_la_segunda_derivada.htm