Aplicación del cálculo

Ya hemos hablado de la importancia que tiene el cálculo en la vida diaria, ahora es turno de dar unos ejemplos en donde se vea reflejada de manera más clara y concreta su aplicación en sí.

1. En una agencia de viajes, o en una empresa, es posible saber cuál es la mayor ganancia que se puede obtener en cierto periodo, o con cierto producto, pero a la vez, igualmente calcular si existen perdidas en estos productos, o en un lapso de tiempo. Si se aplica de manera correcta el cálculo diferencial, se podrán obtener estos resultados sin ningún problema.
   
   
2. Si continuamos en aspectos económicos, en una empresa, cuando se produce un bien o se presta un servicio se genera un costo para una organización, que puede ser de tipo comercial, industrial, etc. Las funciones costo tratadas en este contexto son polinomiales o exponenciales, un ejemplo sería: 
• Considérese un costo total dado por la siguiente relación
  
  
  Q(x) = (a+ b)x + cf
  
  
  donde a representa los costos de la materia prima, b los costos de la mano de obra y cf los costos tales como la renta del edifico, manutención de la empresa, etc. 
  
  
3. En demografía el tipo de funciones que se manejan son aproximaciones de tipo estadístico a los puntos conocidos de las funciones utilizadas ya que sólo se conocen puntos de las funciones por ser datos anuales o decenales y basados en experiencias estadísticas. Para trabajar con las herramientas del cálculo se hace la abstracción teórica de que la variación de la población de estas funciones es continua, ya que, aunque los datos son discretos, en la realidad se comportan de manera continua.

Importancia del cálculo en la vida diaria (opinión personal)

La importancia que tiene el cálculo en la actualidad es mucha, pues la ciencia y la tecnología modernas son basadas y fundamentadas en esta herramienta. En ellas se utiliza mucho la comprensión de ecuaciones que involucran funciones y sus derivadas, y es a través del calculo que se hace posible el análisis de las mismas. Es por ello que se imparte esta materia en aquellas carreras científicas y técnicas

El cálculo es uno de las mas grandes muestras del poder del razonamiento humano. Una vez establecido, fue aplicable a múltiples campos de las matemáticas como la geometría, aritmética, trigonométrica, álgebra, etc.

Entre sus principales aplicaciones encontramos:

•  El estudio de movimientos, aspectos de velocidad, y aceleración
•  El cálculo de máximos y mínimos, por ejemplo:- En una agencia de viajes, o en una empresa, saber cuál es la mayor ganancia que se puede obtener en cierto periodo, o con cierto producto, pero a la vez, igualmente calcular, si existen perdidas en estos productos, o en un lapso de tiempo. 

Las aplicaciones del cálculo son muchas , en especial se aplica en el análisis de procesos que contienen magnitudes en constante cambio, por ejemplo: la velocidad de las reacciones químicas, los cambios atmosféricos, los desarrollos y crecimientos sociales y económicos de un país, en la astronomía para calcular las órbitas de los satélites, en estadística, etc. Es aplicable en infinidad de áreas por lo que es muy notable su utilidad. 

En muchos de los procesos que se llevan a cabo a diario en empresas, centros de investigación, laboratorios, entre otros, el cálculo es una herramienta esencial que les brinda datos, información que se aprovechará para el desarrollo del algún proyecto, trabajo, etc.

Trabajos de Leibniz sobre cálculo

Trabajos de Leibniz sobre cálculo

Sumas y diferencias.

    Cuando a sus 26 años conoció en 1672 a Huygens en Paris, éste le planteó el problema de sumar los inversos de los números triangulares

1 1 +  1 3 +  1 6 +  1 10 +  1 15 +... +  2 n(n+1) +...

    Leibniz observó que cada término se puede descomponer como

2 n(n+1) =2 (  1 n -  1 n+1 )

de donde

1 1 +  1 3 +  1 6 +  1 10 +  1 15 +...  = 2 ( 1-  1 2 ) +2 (  1 2 -  1 3 ) +2 (  1 3 -  1 4 ) + ... = 2

    Leibniz, tal como hizo en la suma de la serie de los inversos de los números triangulares, consideraba sumas y diferencias de sucesiones de números. Observó por ejemplo que dada la sucesión     a₀, a₁, a₂, ... , a_n , si consideramos la sucesión de diferencias     d₁, d₂, ... , d_n , donde

d_i=a_i-a_i-1 

. Entonces

d1+d2+ +dn=(a1-a0)+(a2-a1)+ ...+(an-an-1)=an-a0

es decir, la suma de diferencias consecutivas es igual a la diferencia entre el último y el primer término de la sucesión original.

El cálculo de Leibniz.

    Leibniz no tardó en aplicar a la geometría sus observaciones de que las sumas de sucesiones y sus diferencias consecutivas son procesos inversos el uno del otro. Consideremos una curva como la de la figura donde aparece una sucesión de ordenadas equidistantes y₁,y₂,y₃,?,y_n

    Si suponemos que la distancia entre estas ordenadas es 1, entonces su suma y₁+y₂+y₃+... +y_n es una aproximación de la cuadratura de la curva, mientras que la diferencia entre dos sucesivas y_i¢s da aproximadamente la pendiente de su tangente. 

Además, cuanto más pequeña sea la unidad 1 elegida, mejor será la aproximación.

Leibniz observa que la determinación de cuadraturas y el cálculo de tangentes son operaciones inversas la una de la otra. La idea de su cálculo es que las fórmulas y relaciones geométricas se realicen de manera casi automática por medio de las reglas del

cálculo de diferencias

d(x+y)=dx+dy

d(xy)=x   dy+y   dx

d(   x y )=   y  dx-x  dy y2

d(xn)=n xn-1  dx etc.

El problema de De Beaune.

    El problema que Florimont De Beaune había propuesto originalmente a Descartes en 1639 es: Hallar una curva cuya subtangente

sea una constante dada a.

 

    De la relación

dx dy =  s y

obtenemos tomando s=a

a   dy=y   dx

    Leibniz considera dx=b constante, lo que equivale a tener las abscisas en progresión aritmética. Tomando k=b/a, la relación anterior da

dy=k   y

    Esto es, los incrementos dy son proporcionales a sus las ordenadas y  Leibniz concluye diciendo que la curva es una  "logarítmica".

Desarrollo del seno a partir de su ecuación diferencial.

 

    Leibniz utiliza series de potencias para resolver muchas de us ecuaciones diferenciales. Por ejemplo consideremos la figura donde aparece el primer cuadrante de la circunferencia de radio 1, donde P=(x,y) y q es el ángulo que forma POB.

    Por semejanza de triángulos

    Además por el teorema de Pitágoras dx²+dy²=d q². Elevando al cuadrado la primera relación, despejando dx² y sustituyendo en la segunda obtenemos después de simplificar

dy2+y2 dq2=d q2

que es la ecuación diferencial que verifica y=sinq. Para resolver esta ecuación Leibniz considera dq como constante y aplica el operador d a la ecuación. Se obtiene

 d[dy²+y² dq²]=0, de donde por la regla del producto

d[dy·dy+y2 dq2]=2(dy)(d   dy)+2y dy dq2=0

esto es

d2y d q2 =-y

que es la ecuación diferencial de segundo orden de y=sinq. Ahora Leibniz supone que podemos escribir la serie de potencias con coeficientes indeterminados

y=sinq = b q+cq3+e q5+f q7+gq9+ ...

donde ha tomado el término constante igual a cero al ser sin0=0 y sólo toma potencias impares al ser sinq impar. Diferenciando dos veces esta expresión se obtiene

d2y dq2 =2·3 c q+4·5 e q3+8·9 g q7+ ...

que debe ser igual a -y=-b q-c q³-e q⁵-f q⁷-gq⁹- ... Igualando coeficientes se obtiene

2·3 c=-b  4·5 e = -c  8·9 g = -f  ...

    De donde tomando b=1 como condición inicial obtenemos sucesivamente c=-1/3!, e=1/5!, f=-1/7!, g=1/9!, ... , esto es

sinq = q-  1 3! q3+  1 5! q5-  1 7! q7 +  1 9! q9-...

    Obtiene por tanto con su método de diferencias la relación que ya había obtenido Newton en 1676 con su serie del binomio.

Fuente de consulta:

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/histmatem/calculo/calculo.html