El siglo XVII y la disputa por la creación del cálculo
En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro
problemas científicos y matemáticos:
- Encontrar la tangente a una
curva en un punto.
- Encontrar el valor máximo o
mínimo de una cantidad.
- Encontrar la longitud de una
curva, el área de una región y el volumen de un sólido.
- Dada una fórmula de la
distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar
la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante.
Recíprocamente, dada una fórmula en la que se especifique la aceleración o
la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por
el cuerpo en un período de tiempo conocido.
En parte estos problemas fueron analizados por las
mentes más brillantes de este siglo, concluyendo en la obra cumbre del
filósofo-matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el físico-matemático
inglés Issac Newton: la creación del cálculo. Se sabe que los dos trabajaron en
forma casi simultánea pero sus enfoques son diferentes. Los trabajos de Newton están motivados por sus propias investigaciones
físicas (de allí que tratara a las variables como "cantidades que
fluyen") mientras que Leibniz conserva un carácter más geométrico y,
diferenciándose de su colega, trata a la derivada como un cociente incremental,
y no como una velocidad.
El siglo XVIII
Durante buena parte del siglo los discípulos de
Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de
física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear
campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli inventaron
el cálculo de variaciones y el matemático francés Monge la geometría
descriptiva. Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente
analítico de la mecánica, realizó contribuciones al estudio de las ecuaciones
diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos.
Sin embargo el gran matemático del siglo fue el
suizo Euler, quien escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se
convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas
disciplinas.
El siglo XIX
Un problema importante fue definir el significado
de la palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés Fourier
aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Dirichlet quien propuso su
definición en los términos actuales. En 1821, un matemático francés, Cauchy,
consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo y se dedicó a dar una
definición precisa de "función continua". Basó su visión del cálculo
sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Esta solución planteó un
nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición
de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el
matemático alemán Dedekind quien encontró una definición adecuada para los
números reales.
Un importante avance fue el estudio de las sumas
infinitas de expresiones con funciones trigonométricas, herramientas muy útiles
tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas, hecho por Fourier. Cantor
estudió los conjuntos infinitos y una aritmética de números infinitos.
Siglo XX y nuestros días
Es importante el aporte realizado por Lebesgue
referido a la integración y a la teoría de la medida y las modificaciones y
generalizaciones realizadas por matemáticos que lo sucedieron.
En la Conferencia Internacional de Matemáticos que
tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert, quien
contribuyó de forma sustancial en casi todas las ramas de la matemática retomó
veintitrés problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la
investigación matemática del siglo que recién comenzaba. Estos problemas fueron
el estímulo de una gran parte de los trabajos matemáticos del siglo.
El avance originado por la invención del ordenador
o computadora digital programable dio un gran impulso a ciertas ramas de la
matemática, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y generó
nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se
convirtió en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teoría de
números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, la
computadora permitió encontrar la solución a varios problemas matemáticos que
no se habían podido resolver anteriormente.
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