Trabajos de Leibniz sobre cálculo

Trabajos de Leibniz sobre cálculo

Sumas y diferencias.

    Cuando a sus 26 años conoció en 1672 a Huygens en Paris, éste le planteó el problema de sumar los inversos de los números triangulares

1 1 +  1 3 +  1 6 +  1 10 +  1 15 +... +  2 n(n+1) +...

    Leibniz observó que cada término se puede descomponer como

2 n(n+1) =2 (  1 n -  1 n+1 )

de donde

1 1 +  1 3 +  1 6 +  1 10 +  1 15 +...  = 2 ( 1-  1 2 ) +2 (  1 2 -  1 3 ) +2 (  1 3 -  1 4 ) + ... = 2

    Leibniz, tal como hizo en la suma de la serie de los inversos de los números triangulares, consideraba sumas y diferencias de sucesiones de números. Observó por ejemplo que dada la sucesión     a₀, a₁, a₂, ... , a_n , si consideramos la sucesión de diferencias     d₁, d₂, ... , d_n , donde

d_i=a_i-a_i-1 

. Entonces

d1+d2+ +dn=(a1-a0)+(a2-a1)+ ...+(an-an-1)=an-a0

es decir, la suma de diferencias consecutivas es igual a la diferencia entre el último y el primer término de la sucesión original.

El cálculo de Leibniz.

    Leibniz no tardó en aplicar a la geometría sus observaciones de que las sumas de sucesiones y sus diferencias consecutivas son procesos inversos el uno del otro. Consideremos una curva como la de la figura donde aparece una sucesión de ordenadas equidistantes y₁,y₂,y₃,?,y_n

    Si suponemos que la distancia entre estas ordenadas es 1, entonces su suma y₁+y₂+y₃+... +y_n es una aproximación de la cuadratura de la curva, mientras que la diferencia entre dos sucesivas y_i¢s da aproximadamente la pendiente de su tangente. 

Además, cuanto más pequeña sea la unidad 1 elegida, mejor será la aproximación.

Leibniz observa que la determinación de cuadraturas y el cálculo de tangentes son operaciones inversas la una de la otra. La idea de su cálculo es que las fórmulas y relaciones geométricas se realicen de manera casi automática por medio de las reglas del

cálculo de diferencias

d(x+y)=dx+dy

d(xy)=x   dy+y   dx

d(   x y )=   y  dx-x  dy y2

d(xn)=n xn-1  dx etc.

El problema de De Beaune.

    El problema que Florimont De Beaune había propuesto originalmente a Descartes en 1639 es: Hallar una curva cuya subtangente

sea una constante dada a.

 

    De la relación

dx dy =  s y

obtenemos tomando s=a

a   dy=y   dx

    Leibniz considera dx=b constante, lo que equivale a tener las abscisas en progresión aritmética. Tomando k=b/a, la relación anterior da

dy=k   y

    Esto es, los incrementos dy son proporcionales a sus las ordenadas y  Leibniz concluye diciendo que la curva es una  "logarítmica".

Desarrollo del seno a partir de su ecuación diferencial.

 

    Leibniz utiliza series de potencias para resolver muchas de us ecuaciones diferenciales. Por ejemplo consideremos la figura donde aparece el primer cuadrante de la circunferencia de radio 1, donde P=(x,y) y q es el ángulo que forma POB.

    Por semejanza de triángulos

    Además por el teorema de Pitágoras dx²+dy²=d q². Elevando al cuadrado la primera relación, despejando dx² y sustituyendo en la segunda obtenemos después de simplificar

dy2+y2 dq2=d q2

que es la ecuación diferencial que verifica y=sinq. Para resolver esta ecuación Leibniz considera dq como constante y aplica el operador d a la ecuación. Se obtiene

 d[dy²+y² dq²]=0, de donde por la regla del producto

d[dy·dy+y2 dq2]=2(dy)(d   dy)+2y dy dq2=0

esto es

d2y d q2 =-y

que es la ecuación diferencial de segundo orden de y=sinq. Ahora Leibniz supone que podemos escribir la serie de potencias con coeficientes indeterminados

y=sinq = b q+cq3+e q5+f q7+gq9+ ...

donde ha tomado el término constante igual a cero al ser sin0=0 y sólo toma potencias impares al ser sinq impar. Diferenciando dos veces esta expresión se obtiene

d2y dq2 =2·3 c q+4·5 e q3+8·9 g q7+ ...

que debe ser igual a -y=-b q-c q³-e q⁵-f q⁷-gq⁹- ... Igualando coeficientes se obtiene

2·3 c=-b  4·5 e = -c  8·9 g = -f  ...

    De donde tomando b=1 como condición inicial obtenemos sucesivamente c=-1/3!, e=1/5!, f=-1/7!, g=1/9!, ... , esto es

sinq = q-  1 3! q3+  1 5! q5-  1 7! q7 +  1 9! q9-...

    Obtiene por tanto con su método de diferencias la relación que ya había obtenido Newton en 1676 con su serie del binomio.

Fuente de consulta:

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/histmatem/calculo/calculo.html