Trabajos de Isaac Newton sobre el cálculo
Sus años más fecundos fueron durante el periodo 1665-1666 cuando
cerraron la Universidad de Cambridge, donde era estudiante, debido a la peste bubónica. Newton se recluyó en su casa
natal y allí descubrió el Teorema del binomio, el cálculo diferencial e
integral, la ley de gravitación universal y la Teoría de los colores.
Prácticamente todos los descubrimientos importantes de su vida. Newton tardó mucho en publicar sus trabajos ya que
no le gustaban las controversias y quería evitar la crítica de sus
contemporáneos. En
los últimos años de su vida fue miembro del
parlamento británico y presidente de la Royal Society y considerado como un
tesoro nacional.
El Teorema del Binomio.
La serie del binomio fue descubierta por Newton el
invierno de 1664. Aparece expuesta en dos cartas, la Epistola prior de Junio de
1676 y la Epistola posterior de Octubre de 1676, que mandó al secretario de la Royal
Society of London, Henry Oldenburg, para que se las transmitiera a Leibniz. Dice Newton:
"La extracción de raíces cuadradas se simplifica con este
teorema
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donde A, B, C, ... son los términos inmediatos que les preceden en el
desarrollo".
Expresado de esta forma suena poco familiar, Newton
quiere decir que toma
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y así sucesivamente.
De Análisis.
Un serio problema por resolver, el de las
cuadraturas. Es decir, cómo calcular el área de una figura limitada por curvas.
Hacía falta un método general para encontrar el
área encerrada por cualquier curva. Y este método general lo van a encontrar
Newton y Leibniz a través de la idea de integral.
El proceso es interesante ya que es de alguna forma el comienzo del
cálculo diferencial e integral y donde se ve el papel inverso que juegan la diferenciación y la integración. Lo explica con un ejemplo, aunque es
claramente generalizable.
De acuerdo con la figura sean z=área(ABD), y=BD,
x=AB, Bb = o. Elijamos ahora v=BK de tal manera que
área (BDdb) = área( BKHb)=ov.
Consideremos por ejemplo la curva para la cual
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para facilitar los cálculos, elevamos al cuadrado la relación anterior
para obtener z2=(4/9)x3. Por la elección que hemos hecho de v también se tiene
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esto es
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Simplificando z2= 4/9x3 en cada lado de esta
expresión y dividiendo por o queda
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Newton toma ahora Bb infinitamente pequeño. De
la figura se observa entonces que v=y , y que los términos que contienen o se
anulan, de donde
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Sustituyendo ahora el valor de z, resulta finalmente y=x1/2.
Descubrimiento de las series
de sin x y cos x
A partir de su binomio, Newton encuentra también series trigonométricas.
Encuentra la serie de cosɵ como
El método de
Fluxiones.
Veamos como hace Newton en un caso concreto. Si es y=x3 obtenemos
Luego elimina los términos que contienen o, ya que "se le
supone infinitamente pequeño", quedando
y por tanto, la relación entre fluxiones es
Cálculo de Newton del número p
Aparece en su "Methodus Fluxiorum et Serierum Infinitorum,"
1671. Newton considera la circunferencia de centro (1/2,0) y radio 1/2
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de donde despejando y en función de x y usando el desarrollo del binomio
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Calcula entonces el área debajo de la curva integrando término a término
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Luego para x=1/4, el área de la región ADB es igual a
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Calcula luego la misma área por geometría, ya que
Para evaluar esta última relación calcula primero |
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Mientras que
Por tanto
Igualando los dos valores encontrados anteriormente para esta área resulta
y por consiguiente
valor que aquí hemos calculado correcto hasta cuatro decimales (el error es
1.33 x10-5). Newton de hecho
usa 20 términos del binomio para llegar a calcular p con 16
decimales correctos.
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